今天极客数学帮分享的这篇数学科普:e 为什么叫做自然底数?用通俗易懂的方式,来解读e的自然之美,争取有中学基础的人就能看懂。我们一起来看看吧。 什么是自然底数 e有时被称为自然常数(Natural constant),是一个约等于2.71828182845904523536……的无理数。 以e为底的对数称为自然对数(Natural logarithm),数学中使用自然(Natural)这个词的还有自然数(Natural number)。这里的“自然”并不是现代人所习惯的“大自然”,而是有点儿“天然存在,非人为”的意思。 以自然作为基础,会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。 例如: 英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定,人的脚长差异太大,历史上英尺发生过很多次变化,不稳定,这是不自然的。 而海里的长度则接近自然,如下图,海里是根据地球周长计算的,是1角分的长度,变化就极小。 无处不在的e 1.自然数中的“自然” 古希腊认为像1、2、3这样的数,是事物本身就有的属性,可以用来描述日常事物的数量和顺序,无需过多解释,就是3岁小孩也能快速理解,所以这些数被称为自然数(Natural number)。 但这种朴素的自然观限制了数的范围,无法解释0,负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然,是人为了计算而发明出来的,不是自然的数。 现代我们知道,没有受过基础数学教育的人要想理解这些数,不仅需要了解更复杂的概念模型,还要熟悉加、减、乘、除等运算方法,只有这样才能完全明白。而更复杂的数,例如无理数、代数数和超越数,也需要了解更复杂的运算。 我们的主角e,就是超越数,既然理解e的含义需要理解相关的运算,而这些运算最早都和利息有关。 2.利息中的e e和圆周率π都是超越数,π的含义可以通过下图的割圆术来很形象的理解。假设等边形的最长对角线长度为1,只要等边形的边足够多,算出来的周长就可以越来越接近圆周率π。 但是解释e的含义却很难找到这样直观的例子,幸好在原文《An Intuitive Guide To Exponential Functions & e》中找到了很直观的图,只要理解了这个例子,e的含义就明白了。 假设你在银行存了1元钱(下图蓝圆),很不幸同时又发生了严重的通货膨胀,银行存款利率达到了逆天的100%! 银行一般1年才付一次利息,根据下图,满1年后银行付给你1元利息(绿圆),存款余额=2元 银行发善心,每半年付利息,你可以把利息提前存入,利息生利息(红圆),1年存款余额=2.25元 假设银行超级实在,每4个月就付利息,利息生利息(下图红圆、紫圆),年底的余额≈2.37元 假设银行人品爆发,一年365天,愿意天天付利息,这样利滚利的余额≈2.71456748202元 假设银行丧心病狂的每秒付利息,你也丧心病狂的每秒都再存入,1年共31536000秒,利滚利的余额≈2.7182817813元 这个数越来越接近于e了! 哎呀!费了半天劲也没多挣几个钱啊! 对!1元存1年,在年利率100%下,无论怎么利滚利,其余额总有一个无法突破的天花板,这个天花板就是e,有兴趣的同学可以用计算器算一下。 我们和圆周率再做个对比: ●多边形的边数和利滚利的次数是相似的。 ●对角线为1的n边等边形,n趋于无穷,周长就无限接近于π,即π是周长的最大值。 ●年利率为1(100%)的1元存款,利滚利的次数n趋于无穷,存款就无限接近e,即e是存款的最大值。 换种表述方法: ●每个完美的圆,其周长都是π的倍数; ●每个理想的存款,其余额都是e的倍数。 这里停一停,你好好体会一下。 按照自然的观点,如果圆是最美的,那最赚钱的也是最理想的。 3.微积分中的e 有人说:我不懂微积分,估计看不懂! 没关系!你可以这样理解,积分是升维的过程,微分是降维的过程。 例如: 把一张张纸叠起来变成厚厚的词典,这是从2维变成3维的升维,这是积分; 把一大块羊肉,切成一片片羊肉片,就是从3维为变2维的降维,这是微分。 在微积分中,底数为e的指数函数ex,其导数还是这个函数ex,也就是不论求多少次导数,其导数就像一个常量一样永远是恒定的。不知道别人的感觉如何,反正我第一次知道时是很惊奇的。 举个例子: 就好像你切掉孙悟空的一部分,你以为是一小片肉,睁眼一看,居然是另一个孙悟空,而且一样大! 这种自相似或全息性太匪夷所思、太好玩儿了! 下面就是y=ex在直角坐标系中的样子 4.对数的底数 对数中最常用的底数是10、2和e 为什么要以10为底数? 因为我们使用10进制,数量级和科学计数法也是10的倍数。所以10x的逆运算,以10为底的对数 lg x最常用、最方便,所以又称常用对数。 10进制是数字表示法中最容易普及的,根源是我们有10个手指,人们初学数字时都喜欢借助10个手指学习1、2、3……10。到了学加减运算时,更是喜欢借助手指计算。不仅老师认为这样教学直观,学生也认为这样练习方便。通过教育,这个强大的习惯,被最广泛的传播和固化下来。但如果是8个腕足的章鱼发展出了文明,可能更喜欢8进制。 为什么要以2为底数? 因为2倍或成倍式的增长,即2x,是我们日常中最简单的指数式增长。我们经常说数量成倍、翻倍、翻番、翻两番,都是2倍率的增长。所以2x的逆运算,底数为2的对数 lb x 也会比较常见。 虽然对数的底数2和10是人们使用体验和认知体验最好的对数,但是在数学中,这两个数却是不自然的,因为都是在方便人的需要。 为什么e被称为自然底数? 用e做底数的对数表达方式是 ln x 前面在讲“利息中的e”时,曾拿π和e做过对比。 ●边数越多越接近圆,利滚利越多越接近最大收益 ●一个对角线为1的多边形,其周长最大值是π ●一个本金为1利率为1的存款,其存款余额的最大值是e 按照古希腊的自然思想来看: ●对于一个完美的圆来说,π才是自然的,是圆本身的属性,尽管从数值上是一个“无理”的数。 ●对于最快速的指数增长来说,e才是自然的,这是指数增长本身的属性。 而科学家们也发现,在做数学分析时,用e做底数的对数 ln x 做计算,其形式是最简约的,用其他对数例如lg x 做计算,都会画蛇添足的多一些麻烦。 ln x 就像美学上的“增之一分则太长,减之一分则太短”。 知多点 2004年Google公司IPO上市,创始人Larry Page和Sergey Brin决定上市融资总额为2718281828美元,也就是e的前10位数字。因为他们都精通数学,很喜欢e的自然之美,当然也希望公司能像ex一样实现指数型高速增长。 对数学家来说,最简就是最美。这是一种纯理性的美,通过感官是无法欣赏的,只有熟悉数学的人才能深刻的感受到。这种美令无数数学家为之痴迷,虽然不会像毕达哥拉斯那样狂热,但也终其一生孜孜以求。 结 论 1、历史上,"自然"是一种划时代的思维方法,自然还有和谐、完美的内涵; 2、随着利息、对数、指数的发明,人们发现了e的存在; 3、1元存1年,在年利率100%下,无穷次的利滚利就会达到e; 4、e和π一样都是内在规律,反映了指数增长的自然属性; 5、大自然中到处都有对数螺线的身影; 6、其他底数都是发明出来方便人使用,只有e为底数是被发现的; 7、数学家发现以e为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式; 把e冠以自然底数、自然常数之名,把e为底数的对数称为自然对数,是数学家们用自己的方式对e所进行的美学评价。 |