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标题: [科学] 巴拿赫-塔斯基佯谬 [打印本页]

作者: king 时间: 2016-12-10 19:00 标题: 巴拿赫-塔斯基佯谬

看着，这有些不可思议，但是在数学上真的可以把一个实心球体拆成有限几块，再拼成两个完全一样的实心球体，而且每一个实心球体都和原来的实心球体体积一样、质量相等——换句话说，只要有一个球，就可以凭空制造出无穷多个一样的球——这个佯谬被称为“巴拿赫-塔斯基佯谬”（Banach–Tarski paradox），或者叫“分球怪论”。
只是其中的每一块都有无限复杂的细节，我们又不能无限细分物质，所以真实世界里永远做不了这么精确的外科手术。
这个强烈反直觉的艰深难题不可能只言片语就向所有人讲明，第一个动画只是一个示意性的演示，第二个动画来自Youtube[O网页链接][优酷链接LThe Banach–Tarski Paradox]，完整视频很长，但给出了一个具体的做法（如果你不打算费脑筋，不读下文也可以）：
首先，选取球面上任意一点作为原点，然后以单位1为长度，向着前后左右四个确定的方向在球面上踱步（但不允许倒退）。由于圆周率是个无理数，这样可以达到无穷多个不重复的点，但也有些永远达不到，因为球面是个不可数的无限集。所以我要取无穷多个原点，不断重复这个过程，这才足以给球面上每个点至少一个序列号。
然后将那些从任意原点出发，最后向左踱步抵达的点，定为一个集合，同样将向右、向前、向后抵达的点定位一个集合，这样就有了4个集合，将所有的原点收入第5个集合，再将那些不止一个序列号的点剔出来，重新制定唯一的序列号，得到第6个集合——这6个集合都是可数的无限集，合起来给球面上的每个点赋予了唯一的编号。
接下来是分球了：将每个集合中的所有点，连同这个点与球心的连线一同分离出来，就把一个实心球分成了6份，动画里表示成了6种颜色的针球。
之后就有趣了：如果将所有以“1”开头的实数，去掉开头的“1”，会得到什么？答案是所有的实数。与之类似的，将所有向左抵达的点集向右转一下，会得到什么？答案是向前、向后、向左和原点4个集合的总和（因为不许倒退，所以不包括向右的集合），那么只需再加上向右的集合，以及第6个集合，就还原了最初的球。而剩下的部分旋转一下再拼合，也能得到一个完全一样的实心球，只是旋转时需要一些技巧，所以在操作上有些细节的不同。
——1924年斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这个定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限的几个部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。

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